Exercícios sobre números imaginários

(ITA - 2012) Sejam $\;z = n^2(cos45^o + i\;sen45^o)\phantom{X}$ e $\phantom{X}w = n(cos15^o + i\;sen15^o)\;$, em que $\;n\;$ é o menor inteiro positivo tal que $\;(1 + i)^n\;$ é real. Então $\;\dfrac{\;z\;}{\;w\;}\;$ é igual a:

$\;\sqrt{3}\;+\;i\phantom{X}\;$.

$\;2(\sqrt{3}\;+\;i)$.

$\;2(\sqrt{2}\;+\;i)$.

$\;2(\sqrt{2}\;-\;i)$.

$\;2(\sqrt{3}\;-\;i)$.

resposta: (B)
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(ITA - 2012) Se $\;arg\: z = \dfrac{\;\pi\;}{\;4\;}\;$, então um valor para $\;arg(-2iz)\;$ é:

$-\frac{\pi}{2}$

$\frac{\pi}{4}$

$\frac{\pi}{2}$

$\frac{3\pi}{4}$

$\frac{7\pi}{4}$

resposta: (E)
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(ITA - 1990) Considere as equações $\;{\large z^3}\,=\,i\phantom{X}\mbox{, e }\phantom{X}{\large z^2}\,+\,(2\,+\,1)z\,+\,2i\,=\,0\;$ onde $\,z\,$ é complexo. Seja $\,S_1\,$ o conjunto das raízes da primeira equação e $\,S_2\,$ o da segunda. Então:

$\phantom{X}S_1\,\cap\,S_2\phantom{X}$ é vazio.

$\phantom{X}S_1\,\cap\,S_2\phantom{X}$ é unitário.

$\phantom{X}S_1\,\cap\,S_2\,\subset \mathbb{R}\phantom{X}$.

$\phantom{X}S_1\,\cap\,S_2\phantom{X}$ possui dois elementos.

$\phantom{X}S_1\phantom{X}$ possui apenas dois elementos distintos.

resposta: alternativa D
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(ITA - 1990) A igualdade $\;1 \,+\, |z|\,=\,|1\,+\,z|\;$, onde $\phantom{X}z\,\in\,\mathbb{C}\phantom{X}$, é satisfeita:

para todo $\,z\,\in\,\mathbb{C}\,$ tal que $\,Rez\,=\,0\,$ e $\,Imz\,<\,0\,$.

para todo $\,z\,\in\,\mathbb{C}\,$ tal que $\,Rez\,\geqslant\,0\,$ e $\,Imz\,=\,0\,$.

para todo $\,z\,\in\,\mathbb{C}\,$ tal que $\,|z|\,=\,1\,$.

para todo $\,z\,\in\,\mathbb{C}\,$ tal que $\,Imz\,=\,0\,$.

para todo $\,z\,\in\,\mathbb{C}\,$ tal que $\,Imz\,<\,1\,$.

Nota: $\,\mathbb{C}\,$ denota o conjunto dos números complexos, $\,Rez\,$ a parte real de $\,z\,$ e $\,Imz\,$ a parte imaginária de $\,z\,$.

resposta: alternativa B
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(ITA - 1982) Considere a família de curvas do plano complexo, definida por $\,Re\left(\dfrac{1}{z}\right)\,=\,C\,$ onde $\,z\,$ é um complexo não nulo e $\,C\,$ é uma constante real positiva. Para $\,C\,$ temos uma

circunferência com centro no eixo real e raio igual a $\,C\,$.

circunferência com centro no eixo real e raio igual a $\,\dfrac{1}{C}\,$.

circunferência tangente ao eixo real e raio igual a $\,\dfrac{1}{(2C)}\,$.

circunferência tangente ao eixo imaginário e raio igual a $\,\dfrac{1}{(2C)}\,$.

circunferência com centro na origem do plano complexo e raio igual a $\,\dfrac{1}{C}\,$.

resposta: (D)
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